수 학	2. 나머지정리와 인수분해		2020년 월 일
온라인학습	교과서 : 쪽		이름 :

1. 나머지정리

1) 항등식

★ 항등식

주어진 식의 문자에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 등식을   항등식  라고 한다.

	항등식의 성질 ➊ [eqn: ax ^{2} +bx+c=0]이 [eqn: x]에 대한 항등식이면 [eqn: a=0], [eqn: b=0], [eqn: c=0]이다. 또 [eqn: a=0], [eqn: b=0], [eqn: c=0]이면 [eqn: ax ^{2} +bx+c=0]은 [eqn: x]에 대한 항등식이다. ➋ [eqn: ax ^{2} +bx+c=a'x ^{2} +b'x+c']이 [eqn: x]에 대한 항등식이면 [eqn: a=a'], [eqn: b=b'], [eqn: c=c']이다. 또 [eqn: a=a'], [eqn: b=b'], [eqn: c=c']이면 [eqn: ax ^{2} +bx+c=a'x ^{2} +b'x+c']은 [eqn: x]에 대한 항등식이다.

★ 미정계수법

항등식의 성질을 이용하여 주어진 등식에서 미지의 계수를 정하는 방법

⑴   계수비교법      : 양변의 동류항의 계수를 비교하여 계수를 정하는 방법

⑵   수치대입법      : 문자에 적당한 수를 대입하여 계수를 정하는 방법

항등식 문제풀이

1 다음 보기의 식 중 항등식인 것을 모두 골라라.

[보 기]

ㄱ. [eqn: 2x+3=x-1]

ㄴ. [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +x-1=x ^{2} -x]

ㄷ. [eqn: LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) =x ^{2} -x-6]

ㄹ. [eqn: 3x+2=3 LEFT ( x-1 RIGHT ) +5]

ㅁ. [eqn: x ^{2} -8x+9=x LEFT ( x-8 RIGHT ) +10]

답 ㄴ, ㄷ, ㄹ

ㄱ. 좌변과 우변이 다르다.

ㄴ. 주어진 식의 좌변을 전개하면

[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +x-1][eqn: =x ^{2} -2x+1+x-1]
[eqn: =x ^{2} -x]

이므로 [eqn: x]의 값에 관계없이 좌변과 우변이 같다.

ㄷ. 주어진 식의 좌변을 전개하면

[eqn: LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) =x ^{2} -x-6]

이므로 [eqn: x]의 값에 관계없이 좌변과 우변이 같다.

ㄹ. 주어진 식의 우변을 전개하면

[eqn: 3 LEFT ( x-1 RIGHT ) +5=3x+2]

이므로 [eqn: x]의 값에 관계없이 좌변과 우변이 같다.

ㅁ. 주어진 식의 우변을 전개하면

[eqn: x LEFT ( x-8 RIGHT ) +10=x ^{2} -8x+10]

이므로 좌변과 우변이 다르다.

따라서 항등식은 ㄴ, ㄷ, ㄹ이다.

[2~7] 다음 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식이 되도록 하는 상수 [eqn: a,````b,````c]의 값을 구하여라.

2 [eqn: LEFT ( a+c RIGHT ) x ^{2} - LEFT ( b-3 RIGHT ) x+ LEFT ( a-2b RIGHT ) =0]

답 [eqn: {a=6,`````b=3,`````c=-6}]

주어진 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식이므로

[eqn: a+c=0,```````- LEFT ( b-3 RIGHT ) =0,```````a-2b=0]

[eqn: a=-c,~b=3,~a=2b]

[eqn: THEREFORE ~a=6,~b=3,~c=-6]

3 [eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( ax+3 RIGHT ) =2x ^{2} +bx+c]

답 [eqn: {a=2,`````b=-1,`````c=-6}]

주어진 식의 좌변을 전개하면

[eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( ax+3 RIGHT ) =ax ^{2} + LEFT ( 3-2a RIGHT ) x-6]

따라서 [eqn: ax ^{2} + LEFT ( 3-2a RIGHT ) x-6=2x ^{2} +bx+c]이므로

양변의 계수를 비교하면

[eqn: a=2,`````3-2a=b,`````-6=c]   [eqn: THEREFORE ~a=2,~b=-1,~c=-6]

4 [eqn: ax LEFT ( x-1 RIGHT ) +bx+c LEFT ( x-1 RIGHT ) =x ^{2} +x+1]

답 [eqn: {a=1,`````b=3,`````c=-1}}]

주어진 등식의 양변에 [eqn: x=0,`````x=1,`````x=2]를 각각 대입하면

[eqn: -c=1,`````b=3,`````2a+2b+c=7]

[eqn: THEREFORE ~a=1,~b=3,~c=-1]

5 [eqn: 2x ^{2} +x+5=a LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} +b LEFT ( x+1 RIGHT ) +c]

답 [eqn: {a=2,`````b=-3,`````c=6}]

주어진 식의 우변을 전개하면

[eqn: a LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} +b LEFT ( x+1 RIGHT ) +c=ax ^{2} + LEFT ( 2a+b RIGHT ) x+a+b+c]

따라서 [eqn: 2x ^{2} +x+5=ax ^{2} + LEFT ( 2a+b RIGHT ) x+a+b+c]이므로 양변의 계수를 비교하면

[eqn: a=2,`````2a+b=1,`````a+b+c=5]

[eqn: THEREFORE ~a=2,~b=-3,~c=6]

6 [eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT ) =x ^{3} +x ^{2} +cx+6]

답 [eqn: {a=3,`````b=-3,`````c=-9}]

주어진 등식의 좌변을 전개하여 [eqn: x]에 대한 내림차순으로 정리하면
[eqn: x ^{3} + LEFT ( a-2 RIGHT ) x ^{2} + LEFT ( -2a+b RIGHT ) x-2b=x ^{3} +x ^{2} +cx+6]
위의 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식이므로 양변의 계수를 비교하면
[eqn: a-2=1], [eqn: -2a+b=c], [eqn: -2b=6]
∴ [eqn: a=3], [eqn: b=`-3], [eqn: c=`-9]

7 [eqn: ax ^{2} +2b LEFT ( x-1 RIGHT ) +c LEFT ( 2-x-x ^{2} RIGHT ) =1]

답 [eqn: {a=1,`````b= {1} over {2} ,`````c=1}]

주어진 등식의 좌변을 전개하여 [eqn: x]에 대한 내림차순으로 정리하면
[eqn: LEFT ( a-c RIGHT ) x ^{2} + LEFT ( 2b-c RIGHT ) -2b+2c=1]
위의 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식이므로 양변의 계수를 비교하면
[eqn: a-c=0], [eqn: 2b-c=0], [eqn: -2b+2c=1]    ∴ [eqn: a=1], [eqn: b= {1} over {2}], [eqn: c=1]

수 학	2. 나머지정리와 인수분해		2020년 월 일
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나머지정리

2) 나머지정리

★ 나머지정리

다항식 [eqn: P(x)]를 일차식 [eqn: x-alpha]로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R]라 하면    [eqn: R=P(a)]

★ 나머지정리 체크포인트

다항식을 일차식으로 나눌 때,

⑴ 몫과 나머지를 모두 구할 때는    조립제법    을 사용하는 것이 편리하다.

⑵ 나머지만 구할 때는    나머지정리   를 이용하는 것이 편리하다.

★ 인수정리

	인수정리 다항식 [eqn: P(x)]에 대하여 ❶ [eqn: P( alpha )=0]이면 [eqn: P(x)]는 일차식 [eqn: x- alpha]로 나누어떨어진다. ➋ [eqn: P(x)]가 일차식 [eqn: x-alpha]로 나누어떨어지면 [eqn: P`( alpha )=0]이다.

나머지정리 문제풀이

1. 다항식 [eqn: x ^{3} -2x ^{2} +5x-6]을 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 나머지를 구하여라.

답 [eqn: {-2}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -2x ^{2} +5x-6]으로 놓으면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 나머지는

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1-2+5-6=-2]

2. 다항식 [eqn: 3x ^{2} -4x+ {1} over {4}]을 [eqn: 2x-1]로 나누었을 때의 나머지를 구하여라.

답 [eqn: {-1}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -4x+ {1} over {4}]로 놓으면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: 2x-1]로 나누었을 때의 나머지는

[eqn: f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =3 CDOT LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} -4 CDOT {1} over {2} + {1} over {4} =`-1]

3. 다항식 [eqn: P(x)=x ^{3} -3x ^{2} +x+4]를 다음 일차식으로 나누었을 때의   나머지를 구하시오.

⑴ [eqn: x-1]     답 [eqn: 3]	⑵ [eqn: x-2]	답 [eqn: 2]

⑶ [eqn: x+ {1} over {2}]    답 [eqn: {21} over {8}]